陕西单招数学模拟试题及答案

陕西单招数学模拟试题（一）
（考试时间：120分钟 满分：150分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1. 已知集合 ( A = { x \mid -2 \le x < 3 } )，( B = { x \mid x \ge 0 } )，则 ( A \cap B = )（ ）
   A. ( { x \mid 0 \le x < 3 } )
   B. ( { x \mid x \ge -2 } )
   C. ( { x \mid x < 3 } )
   D. ( { x \mid -2 \le x \le 3 } )

2. 函数 ( f(x) = \sqrt{2x-1} ) 的定义域是（ ）
   A. ( (-\infty, \frac{1}{2}) )
   B. ( [\frac{1}{2}, +\infty) )
   C. ( (\frac{1}{2}, +\infty) )
   D. ( (-\infty, \frac{1}{2}] )

3. 若 ( \sin \theta = \frac{3}{5} )，且 ( \theta ) 为第二象限角，则 ( \cos \theta = )（ ）
   A. ( \frac{4}{5} )
   B. ( -\frac{4}{5} )
   C. ( \frac{3}{4} )
   D. ( -\frac{3}{4} )

4. 等差数列 ( {a_n} ) 中，( a1 = 2 )，公差 ( d = 3 )，则 ( a{10} = )（ ）
   A. 29
   B. 30
   C. 32
   D. 35

5. 直线 ( 2x - 3y + 6 = 0 ) 的斜率是（ ）
   A. ( \frac{2}{3} )
   B. ( -\frac{2}{3} )
   C. ( \frac{3}{2} )
   D. ( -\frac{3}{2} )

6. 不等式 ( x^2 - 4x + 3 < 0 ) 的解集是（ ）
   A. ( (1, 3) )
   B. ( (-\infty, 1) \cup (3, +\infty) )
   C. ( [1, 3] )
   D. ( (-\infty, 1] \cup [3, +\infty) )

7. 已知向量 ( \vec{a} = (1, 2) )，( \vec{b} = (3, -1) )，则 ( \vec{a} \cdot \vec{b} = )（ ）
   A. 1
   B. 5
   C. 6
   D. 7

8. 若 ( \log_2 x = 3 )，则 ( x = )（ ）
   A. 6
   B. 8
   C. 9
   D. 12

9. 圆心为 ( (1, -2) )，半径为 3 的圆的标准方程是（ ）
   A. ( (x-1)^2 + (y+2)^2 = 9 )
   B. ( (x+1)^2 + (y-2)^2 = 9 )
   C. ( (x-1)^2 + (y+2)^2 = 3 )
   D. ( (x+1)^2 + (y-2)^2 = 3 )

10. 从 5 名男生和 3 名女生中选 2 人参加活动，恰好选到 1 男 1 女的概率是（ ）
    A. ( \frac{1}{4} )
    B. ( \frac{5}{14} )
    C. ( \frac{15}{28} )
    D. ( \frac{3}{7} )

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11. 计算：( \frac{\sqrt{12} - \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = ) __．
12. 若 ( f(x) = x^2 + 2x + 1 )，则 ( f(-1) = ) __．
13. 在等比数列 ( {a_n} ) 中，( a_1 = 2 )，( q = 3 )，则 ( a_4 = ) __．
14. 已知 ( \tan \alpha = 2 )，则 ( \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} = ) __．
15. 点 ( P(2, -1) ) 到直线 ( x - y + 1 = 0 ) 的距离是 __．

三、解答题（本大题共5小题，共75分）

16. （12分）解方程：( 2^{x+1} = 8 )．

17. （15分）已知函数 ( f(x) = 2\sin x \cos x - \cos^2 x )．
    （1）求 ( f(x) ) 的最小正周期；
    （2）求 ( f(x) ) 的最大值和最小值．

18. （15分）如图，在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 为正方形，( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( PA = AB = 2 )．
    （1）求证：( BD \perp PC )；
    （2）求四棱锥 ( P-ABCD ) 的体积．

19. （15分）已知椭圆 ( C: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 )．
    （1）求椭圆的长轴和短轴长；
    （2）若点 ( P(2, 1) ) 在椭圆上，求 ( \triangle PF_1F_2 ) 的周长（( F_1, F_2 ) 为焦点）．

20. （18分）已知数列 ( {a_n} ) 满足 ( a1 = 1 )，( a{n+1} = 2a_n + 1 )．
    （1）求 ( a_2, a_3 )；
    （2）求证：( {a_n + 1} ) 是等比数列；
    （3）求数列 ( {a_n} ) 的通项公式．

参考答案与解析

一、选择题

1. A 解析：( A \cap B = { x \mid x \ge 0 \ \text{且} \ x < 3 } )。
2. B 解析：由 ( 2x - 1 \ge 0 ) 得 ( x \ge \frac{1}{2} )。
3. B 解析：第二象限角余弦为负，( \cos \theta = -\sqrt{1 - \sin^2 \theta} = -\frac{4}{5} )。
4. A 解析：( a_{10} = a_1 + 9d = 2 + 9 \times 3 = 29 )。
5. A 解析：化为斜截式 ( y = \frac{2}{3}x + 2 )，斜率为 ( \frac{2}{3} )。
6. A 解析：解不等式 ( (x-1)(x-3) < 0 ) 得 ( 1 < x < 3 )。
7. A 解析：( \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 3 + 2 \times (-1) = 1 )。
8. B 解析：由 ( \log_2 x = 3 ) 得 ( x = 2^3 = 8 )。
9. A 解析：圆的标准方程为 ( (x-1)^2 + (y+2)^2 = 9 )。
10. C 解析：总选法 ( C_8^2 = 28 )，满足条件的选法 ( C_5^1 \times C_3^1 = 15 )，概率为 ( \frac{15}{28} )。

二、填空题

11. 1 解析：原式 ( = \frac{2\sqrt{3} - \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1 )。
12. 0 解析：( f(-1) = (-1)^2 + 2 \times (-1) + 1 = 0 )。
13. 54 解析：( a_4 = a_1 q^3 = 2 \times 27 = 54 )。
14. 3 解析：分子分母同除以 ( \cos \alpha )，得 ( \frac{\tan \alpha + 1}{\tan \alpha - 1} = \frac{2+1}{2-1} = 3 )。
15. ( \sqrt{2} ) 解析：距离 ( d = \frac{|2 - (-1) + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} )。

三、解答题

16. 解：( 2^{x+1} = 8 = 2^3 )，
    ∴ ( x+1 = 3 )，解得 ( x = 2 )。

17. 解：（1）( f(x) = \sin 2x - \frac{1+\cos 2x}{2} = \sin 2x - \frac{1}{2} \cos 2x - \frac{1}{2} )，
    最小正周期 ( T = \frac{2\pi}{2} = \pi )。
    （2）最大值为 ( \sqrt{1^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2} )，
    最小值为 ( -\sqrt{1^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} - \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{5}+1}{2} )。

18. 解：（1）∵ ( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( BD \subset ) 平面 ( ABCD )，
    ∴ ( PA \perp BD )。
    又 ( ABCD ) 为正方形，∴ ( AC \perp BD )，
    ∴ ( BD \perp ) 平面 ( PAC )，故 ( BD \perp PC )。
    （2）体积 ( V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times PA = \frac{1}{3} \times 2^2 \times 2 = \frac{8}{3} )。

19. 解：（1）由椭圆方程知 ( a^2 = 9 )，( b^2 = 4 )，
    ∴ 长轴长 ( 2a = 6 )，短轴长 ( 2b = 4 )。
    （2）焦距 ( 2c = 2\sqrt{a^2 - b^2} = 2\sqrt{5} )，
    ( \triangle PF_1F_2 ) 的周长为 ( PF_1 + PF_2 + F_1F_2 = 2a + 2c = 6 + 2\sqrt{5} )。

20. 解：（1）( a_2 = 2a_1 + 1 = 3 )，( a_3 = 2a2 + 1 = 7 )。
    （2）由 ( a{n+1} + 1 = 2(a_n + 1) )，
    ∴ ( {a_n + 1} ) 是公比为 2 的等比数列。
    （3）由（2）得 ( a_n + 1 = (a_1 + 1) \cdot 2^{n-1} = 2^n )，
    ∴ ( a_n = 2^n - 1 )。

温馨提示：以上题目覆盖了单招数学的常见考点，建议结合教材和真题进行针对性复习，注重基础公式和计算能力的提升。